Bài tập 36, § 7

(a) Cho $K_0$ là một trường giao hoán và $K = K_0(X)$ là trường các hàm hữu tỉ theo một bất định trên $K_0$ (Chương IV). Một cấu trúc song môđun $(K, K)$ được xác định trên $K$ như sau: tích $t.u$ của một phần tử $u \in K$ bởi một toán tử trái $t \in K$ là hàm hữu tỉ $t(X)u(X)$; tích $u.t$ của $u$ bởi một toán tử phải $t \in K$ là hàm hữu tỉ $u(X)t(X^2)$; cấu trúc không gian vectơ $K$ trái (tương ứng, phải) do đó xác định trên $K$ khi ấy là 1-chiều (tương ứng, 2-chiều). Suy ra các ví dụ về các song môđun $(K, K)$ sao cho chiều của hai cấu trúc không gian vectơ của một song môđun như vậy là những số nguyên tùy ý.

(b) Suy ra từ (a) một ví dụ về một song môđun $(K, K)$ $E$ mà hai cấu trúc không gian vectơ của nó có cùng chiều và sao cho tồn tại một môđun con song $F$ của $E$ mà hai cấu trúc không gian vectơ của nó không có cùng chiều.*