Exercice 37, § 7

a) Soient $E$ un espace vectoriel à gauche (de dimension finie ou non), $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) des sous-espaces vectoriels de $E$. On suppose que, pour toute suite $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ de points de $E$ telle que $a_i \in A_i$ pour tout $i$, le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par les $a_i$ soit de dimension $\leq m$ ($m$ entier $\leq n$). Prouver alors qu’il existe un sous-espace $W$ de $E$ de dimension $h \leq m$, contenant $h + (n - m)$ des sous-espaces $A_i$. (Raisonner par récurrence sur $n$. Prouver d’abord qu’on peut (pour $n$ fixé) se borner au cas où $m < n$ et $\dim(A_i) \leq m$ pour tout $i$; on peut aussi supposer que $A_i \neq \{0\}$ pour tout $i$ et que les $A_i$ ne sont pas tous de dimension 1. Raisonner alors (pour $n$ fixé) par récurrence sur $d = \sum_{i=1}^{m} \dim(A_i)$. Si par exemple $\dim(A_n) \geq 2$, considérer un sous-espace $B_n$ de $A_n$ de dimension 1, et appliquer l’hypothèse de récurrence à $A_1, \ldots, A_{n-1}, B_n$; en conclure qu’il existe un nombre $k$ tel que $1 \leq k \leq m$, et un sous-espace $U$ de $E$ de dimension $k$ contenant $k$ des $A_i$, par exemple $A_1, \ldots, A_k$; en remplaçant au besoin $k$ par un entier $k'$ tel que $1 \leq k' \leq k$, montrer en outre qu’on peut supposer qu’il existe des vecteurs $b_i \in A_i$ pour $1 \leq i \leq k$ tels que $b_1, \ldots, b_k$ forment une base de $U$; projeter alors sur un supplémentaire de $U$ dans $E$ et utiliser l’hypothèse de récurrence.) b) Soit $K$ un corps fini, et soit $E$ un espace vectoriel de dimension $N$ sur $K$. Soient $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que, pour toute partie $H$ de $\{1, n\}$, l’intersection des $U_i$ tels que $i \in H$ ait une dimension $\leq N - \mathrm{Card}(H)$. Montrer que la réunion des $U_i$ ne peut être égale à $E$ (raisonner par dualité en utilisant a)).