Bài tập 37, § 7

(a) Cho $E$ là một không gian vectơ trái (hữu hạn chiều hoặc không) và $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các không gian con vectơ của $E$. Giả sử rằng, với mọi dãy $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ các điểm của $E$ sao cho $a_i \in A_i$ với mọi $i$, không gian con vectơ của $E$ sinh bởi các $a_i$ có chiều $\leq m$ ($m$ là một số nguyên $\leq n$). Khi đó hãy chứng minh rằng tồn tại một không gian con $W$ của $E$ có chiều $h \leq m$, chứa $h + (n - m)$ trong số các không gian con $A_i$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n$. Trước hết chứng minh rằng (với $n$ cố định) có thể chỉ cần xét trường hợp $m < n$ và $\dim(A_i) \leq m$ với mọi $i$; cũng có thể giả sử rằng $A_i \neq \{0\}$ với mọi $i$ và các $A_i$ không phải tất cả đều có chiều bằng 1. Sau đó lập luận (với $n$ cố định) bằng quy nạp theo $d = \sum_{i=1}^m \dim(A_i)$. Chẳng hạn nếu $\dim(A_n) \geq 2$, xét một không gian con $B_n$ một chiều của $A_n$ có chiều 1 và áp dụng giả thiết quy nạp cho $A_1, \ldots, A_{n-1}, B_n$; kết luận rằng tồn tại một số $k$ sao cho $1 \leq k \leq m$ và một không gian con $k$-chiều $U$ của $E$ chứa $k$ trong số các $A_i$, ví dụ $A_1, \ldots, A_k$; thay thế, nếu cần, $k$ bởi một số nguyên $k'$ sao cho $1 \leq k' \leq k$, hãy chứng minh thêm rằng có thể giả sử tồn tại các vectơ $b_i \in A_i$ với $1 \leq i \leq k$ sao cho $b_1, \ldots, b_k$ lập thành một cơ sở của $U$; sau đó chiếu lên một không gian con bù của $U$ trong $E$ và dùng giả thiết quy nạp.)

(b) Cho $K$ là một trường hữu hạn và $E$ là một không gian vectơ $N$-chiều trên $K$. Cho $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các không gian vectơ con của $E$ sao cho, với mọi tập con $H$ của $\{1, n\}$, giao của các $U_i$ sao cho $i \in H$ có chiều $\leq N - \mathrm{Card}(H)$. Hãy chỉ ra rằng hợp của các $U_i$ không thể bằng $E$ (lập luận bằng đối ngẫu sử dụng (a)).