Exercice 6, § 7

Soit S une partie finie non vide d’un K-espace vectoriel E ne contenant pas 0. On suppose qu’il existe un entier k \geq 1 ayant la propriété suivante: () pour tout x \in S, il y a une partition de S - {x} en h parties libres, avec h \leq k. Pour une telle partition (Ni)_{1 \leq i \leq h} et toute suite (r_j)_{1 \leq j \leq m} d’entiers de {1, h}, on définit par récurrence sur m un sous-espace F_{r_1 r_2 \cdots r_m} de E de la façon suivante: F_{r_1} est le sous-espace engendré par N_{r_1}, F_{r_1 \cdots r_p} le sous-espace engendré par l’intersection de F_{r_1 \cdots r_{p-1}} et de N_{r_p}. On suppose que: (**) pour tout x \in S et toute partition (N_i)_{1 \leq i \leq h} de S - {x} en au plus k parties libres, il existe au moins une suite (r_j)_{1 \leq j \leq m} telle que x \notin F_{r_1 r_2 \cdots r_m}. a) Soit n le plus petit des entiers m \geq 1 pour tous les choix possibles de x \in S, (N_i)_{1 \leq i \leq h} et (r_j)_{1 \leq j \leq m} vérifiant les conditions () et (*). Montrer que l’on a nécessairement n = 1. (Raisonner par l’absurde en supposant x \notin F_{r_1 r_2 \cdots r_n} et n > 1. Alors on a nécessairement x \in F_{r_n}. On pose pour simplifier E_p = F_{r_1 r_2 \cdots r_p} pour 1 \leq p \leq n et on écrit x = \sum_i \alpha_i y_i avec \alpha_i \in K et y_i \in N_{r_n}; il y a au moins un y_i n’appartenant pas à E_{n-1}, on le note y; on pose N = N_{r_n} - {y}, N'_i = N_i pour 1 \leq i \leq h et i \neq r_n, N'_{r_n} = N \cup {x}, de sorte que (N'_i)_{1 \leq i \leq h} est une partition de S - {y} formée de parties libres. On définit E'_0 = E et pour 1 \leq p \leq n, E'_p comme le sous-espace engendré par l’intersection de E'_{p-1} et de N_{r_p}. On a y \notin E_{n-1}; soit q le plus petit entier tel que y \notin E_q; montrer que E'_q \notin E_q. Soit s le plus petit entier tel que E'_s \notin E_s; montrer que r_s = r_n; déduire enfin une contradiction des relations y \in E_s, E'_{s-1} \subset E_{s-1} et E'_s \notin E_s.) b) Conclure de a) que sous les hypothèses faites, il existe une partition de S en h parties libres pour un entier h \leq k.