Bài tập 6, § 7

Cho $S$ là một tập con hữu hạn khác rỗng của một $K$-không gian vectơ $E$, không chứa 0. Giả sử rằng tồn tại một số nguyên $k \geqslant 1$ có tính chất sau:

(*) với mọi $x \in S$, có một phân hoạch của $S - \{x\}$ thành $h$ tập con tự do với $h \leqslant k$.

Đối với một phân hoạch như vậy $(N_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ và mọi dãy $(r_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ gồm các số nguyên của $\{1, h\}$, một không gian con $F_{r_1 r_2 \ldots r_m}$ của $E$ được xác định bằng quy nạp theo $m$ như sau: $F_{r_1}$ là không gian con sinh bởi $N_{r_1}$, $F_{r_1 \ldots r_p}$ là không gian con sinh bởi giao của $F_{r_1 \ldots r_{p-1}}$ và $N_{r_p}$. Giả sử rằng:

(**) với mọi $x \in S$ và mọi phân hoạch $(N_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ của $S - \{x\}$ thành nhiều nhất $k$ tập con tự do, tồn tại ít nhất một dãy $(r_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ sao cho

(a) Gọi $n$ là số nhỏ nhất trong các số nguyên $m \geqslant 1$ đối với mọi cách chọn có thể của $x \in S$ và giả sử $(N_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ và $(r_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ thỏa mãn các điều kiện () và (*). Hãy chứng minh rằng tất yếu $n = 1$. (Lập luận bằng phản chứng khi giả sử $x \notin F_{r_1 r_2 \ldots r_n}$ và $n > 1$. Khi đó tất yếu $x \in F_{r_n}$. Để đơn giản, viết $E_p = F_{r_1 r_2 \ldots r_p}$ với $1 \leqslant p \leqslant n$ và $x = \sum_i \alpha_i y_i$ với $\alpha_i \in K$ và $y_i \in N_{r_n}$; có ít nhất một $y_i$ không thuộc $E_{n-1}$, ký hiệu nó là $y$; rồi viết $N = N_{r_n} - \{y\}$, $N'_i = N_i$ với $1 \leqslant i \leqslant h$ và $i \neq r_n$, $N'_{r_n} = N \cup \{x\}$, sao cho $(N'_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ là một phân hoạch của $S - \{y\}$ gồm các tập con tự do. Định nghĩa $E'_0 = E$ và với $1 \leqslant p \leqslant n$, $E'_p$ là không gian con sinh bởi giao của $E'_{p-1}$ và $N'_{r_p}$. Bây giờ $y \notin E_{n-1}$; gọi $q$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $y \notin E_q$; hãy chứng minh rằng $E'_q \not\subset E_q$. Gọi $s$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $E'_s \not\subset E_s$; hãy chứng minh rằng $r_s = r_n$; cuối cùng suy ra một mâu thuẫn từ các hệ thức $y \in E_s$, $E'_{s-1} \subset E_{s-1}$ và $E'_s \not\subset E_s$.)

(b) Từ (a), hãy kết luận rằng với các giả thiết đã cho tồn tại một phân hoạch của $S$ thành $h$ tập con tự do với một số nguyên $h \leqslant k$.