Exercice 7, § 7

Soit S une partie finie non vide d’un K-espace vectoriel E, ne contenant pas 0. On suppose qu’il existe un entier k \geq 1 tel que pour toute partie T de S, on ait Card(T) \leq k . rg(T). Montrer qu’il existe une partition de S en h parties libres pour un entier h \leq k. (Prouver que S vérifie la condition (**) de l’exerc. 6, en raisonnant par récurrence sur Card(S) et en prenant parmi tous les sous-espaces F_{r_1 \cdots r_m} un de ceux ayant la plus petite dimension possible; si G est un tel sous-espace, j un indice pour lequel Card(G \cap N_j) est le plus petit possible, prouver que k . Card(G \cap N_j) \leq Card(G \cap (S - {x})) \leq Card(G \cap S) \leq k . Card (G \cap N_j).)