Exercice 3, § 8

Soient K un corps, L un sous-corps de K, et désignons par $K_L$ le corps K considéré comme espace vectoriel à gauche sur L; $E = \mathrm{End}_L(K_L)$ est canoniquement muni d’une structure de (K, K)-bimodule. Le dual $(K_L)^*$ est contenu dans E et est un (K, L)-sous-bimodule de E. Lorsque L est contenu dans le centre de K, les deux structures de L-espace vectoriel sur E, obtenues en restreignant à L le corps des scalaires des deux structures de K-espace vectoriel de E, sont identiques. On suppose désormais que L est contenu dans le centre de K et que la dimension de $K_L$ est finie et égale à n. a) Montrer que $(K_L)^*$ est de dimension 1 pour sa structure d’espace vectoriel à gauche sur K (calculer de deux manières la dimension de $(K_L)^*$ sur L). b) Montrer que E est un espace vectoriel à gauche de dimension n sur K (même méthode). c) Soit F un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur K, $F_{[L]}$ l’espace vectoriel correspondant sur L. Si $u_0 \neq 0$ est une forme linéaire sur $K_L$, montrer que l’application $x' \mapsto u_0 \circ x'$ du dual F* de F (considéré comme espace vectoriel sur L) sur le dual $(F_{[L]})^*$ de $F_{[L]}$ est bijective (utiliser a)).