Bài tập 3, § 8

Cho K là một trường, L là một trường con của K và ký hiệu $K_L$ là trường K được xét như một không gian vectơ trái trên L; $E = \mathrm{End}_L(K_L)$ có một cấu trúc song môđun (K, K) một cách chính tắc. Đối ngẫu $(K_L)^*$ được chứa trong E và là một môđun con song (K, L) của E. Khi L được chứa trong tâm của K, hai cấu trúc không gian vectơ L trên E, thu được bằng cách hạn chế vào L trường vô hướng của hai cấu trúc không gian vectơ K trên E, là đồng nhất.

Từ nay về sau, giả sử L được chứa trong tâm của K và chiều của $K_L$ là hữu hạn và bằng n.

(a) Chứng minh rằng $(K_L)^*$ có chiều 1 theo cấu trúc không gian vectơ trái của nó trên K (tính chiều của $(K_L)^*$ trên L theo hai cách).

(b) Chứng minh rằng E là một không gian vectơ trái n chiều trên K (dùng cùng phương pháp).

(c) Cho F là một không gian vectơ trái hữu hạn chiều trên K và $F_{[L]}$ là không gian vectơ tương ứng trên L. Nếu $u_0 \neq 0$ là một dạng tuyến tính trên $K_L$, chứng minh rằng ánh xạ $x' \mapsto u_0 \circ x'$ từ đối ngẫu $F^*$ của F (được xét như một không gian vectơ trên L) lên đối ngẫu $(F_{[L]})^*$ của $F_{[L]}$ là song ánh (dùng (a)).