Exercice 5, § 8

Soit $K_0$ un sous-corps d’un corps K tel que K soit de dimension 2 en tant qu’espace vectoriel à droite sur $K_0$. Soit E un espace vectoriel à gauche sur K.

a) Soit $E_0$ une partie de $E$ qui soit un espace vectoriel sur $K_0$, et soit $V$ le plus grand sous-K-espace vectoriel de $E_0$; si $W_0$ est un sous-$K_0$-espace vectoriel de $E_0$, supplémentaire de $V$, montrer que le sous-K-espace vectoriel $W$ de $E$ engendré par $W_0$, est tel que $V \cap W = \{0\}$ (remarquer que si un élément $\mu \in K$ n’appartient pas à $K_0$, la relation $\mu x \in E_0$ pour un $x \in E_0$ entraîne $x \in V$).

b) Soit $E'_0$ un second sous-$K_0$-espace vectoriel de $E$, $V'$ le plus grand sous-K-espace vectoriel de $E'_0$. Pour qu’il existe un $K$-automorphisme de $E$ transformant $E_0$ en $E'_0$, il faut et il suffit que $V$ et $V'$ aient même dimension par rapport à $K$, que les codimensions de $V$ dans $E_0$ et de $V'$ dans $E'_0$ (par rapport à $K_0$) soient égales et que les codimensions de $E_0$ et $E'_0$ dans $E$ (par rapport à $K_0$) soient égales (utiliser $a$).