Bài tập 5, § 8

Cho $K_0$ là một trường con của một trường K sao cho K có chiều 2 như một không gian vectơ phải trên $K_0$. Cho E là một không gian vectơ trái trên K.

(a) Cho $E_0$ là một tập con của E, là một không gian vectơ trên $K_0$, và cho V là không gian con vectơ trên K lớn nhất của $E_0$; nếu $W_0$ là một không gian con vectơ trên $K_0$ của $E_0$ bổ sung với V, hãy chứng minh rằng không gian con vectơ trên K W của E sinh bởi $W_0$ thỏa mãn $V \cap W = \{0\}$ (chú ý rằng nếu một phần tử $\mu \in K$ không thuộc $K_0$, thì quan hệ $\mu x \in E_0$ đối với một $x \in E_0$ kéo theo $x \in V$).

(b) Cho $E'_0$ là một không gian con vectơ trên $K_0$ khác của E và $V'$ là không gian con vectơ trên K lớn nhất của $E'_0$. Để tồn tại một K-tự đẳng cấu của E ánh xạ $E_0$ lên $E'_0$, điều kiện cần và đủ là V và $V'$ có cùng chiều đối với K, các đối chiều của V trong $E_0$ và của $V'$ trong $E'_0$ (đối với $K_0$) bằng nhau, và các đối chiều của $E_0$ và $E'_0$ trong E (đối với $K_0$) bằng nhau (dùng (a)).