Exercice 10, § 9

Dans un espace projectif $P(V)$ de dimension n sur un corps K, on appelle repère projectif un ensemble S de $n + 2$ points, dont $n + 1$ quelconques forment un système projectivement libre. Si $S = (a_i)_{0 \leq i \leq n+1}$ et $S' = (a'_i)_{0 \leq i \leq n+1}$ sont deux repères projectifs quelconques de $P(V)$, montrer qu’il existe une transformation $f \in PGL(V)$ telle que $f(a_i) = a'_i$ pour $0 \leq i \leq n + 1$. Pour que cette transformation soit unique, il faut et il suffit que K soit commutatif. (Se ramener au cas où $a'_i = a_i$ pour tout i, et remarquer que l’on peut toujours écrire (avec les notations de II, p. 133) $a_i = \pi(b_i)$, où $(b_i)_{1 \leq i \leq n+1}$ est une base de V, et $b_0 = b_1 + b_2 + \cdots + b_{n+1}$.) Donner un exemple où K est un corps de quaternions et où il existe un ensemble infini T de points de $P(V)$, dont $n + 1$ quelconques forment un système projectivement libre, et une transformation $f \in PGL(V)$, distincte de l’identité, et laissant invariants tous les points de T.