Exercice 11, § 9

Soient V un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps K, a, b, c, d quatre points distincts de la droite projective $P(V)$. On appelle birapport du quadruplet $(a, b, c, d)$ et on note

l’ensemble des éléments $\xi \in K$ tels qu’il existe deux vecteurs $u, v$ dans V pour lesquels on a (avec les notations de II, p. 133) $a = \pi(u)$, $b = \pi(v)$, $c = \pi(u + v)$, $d = \pi(u + \xi v)$. Cette définition s’étend aussitôt à tout quadruplet de points distincts d’un ensemble muni d’une structure de droite projective (II, p. 138). a) Montrer que est l’ensemble des conjugués d’un élément $\neq 1$ du groupe multiplicatif $K^*$, et réciproquement que, lorsque a, b, c sont des points distincts de $P(V)$, et $\rho$ l’ensemble des conjugués d’un élément $\neq 1$ de $K^*$, il existe un point $d \in P(V)$ tel que Pour que d soit unique, il faut et il suffit que $\rho$ soit réduit à un seul élément. b) Montrer que l’on a et (en désignant par $\rho^{-1}$ (resp. $1 - \rho$) l’ensemble des conjugués $\lambda \xi^{-1} \lambda^{-1} = (\lambda \xi \lambda^{-1})^{-1}$ (resp. $1 - \lambda \xi \lambda^{-1} = \lambda (1 - \xi) \lambda^{-1}$), où $\xi$ est un élément de $\rho$).

c) Soient $(a, b, c, d), (a', b', c', d')$ deux quadruplets de points distincts de $\mathbf{P}(V)$. Pour qu’il existe une application semi-linéaire bijective de $V$ sur lui-même telle que l’application bijective $f$ de $\mathbf{P}(V)$ sur elle-même, obtenue par passage aux quotients, satisfasse aux conditions $f(a) = a', f(b) = b', f(c) = c', f(d) = d'$, il faut et il suffit qu’il existe un automorphisme $\sigma$ de $K$ tel que

Pour qu’il existe une transformation $f$ du groupe projectif $\mathbf{PGL}(V)$ satisfaisant aux conditions précédentes, il faut et il suffit que