Bài tập 11, § 9

Cho $V$ là một không gian vectơ có chiều 2 trên một trường $K$, và cho a, b, c, d là bốn điểm phân biệt của đường thẳng xạ ảnh $P(V)$. Tỉ số kép của bộ bốn $(a, b, c, d)$ được gọi và ký hiệu bởi

là tập hợp các phần tử $\xi \in K$ sao cho tồn tại hai vectơ $u, v$ trong $V$ mà ta có (với các ký hiệu của II, p. 133) $a = \pi(u)$, $b = \pi(v)$, $c = \pi(u + v)$, $d = \pi(u + \xi v)$. Định nghĩa này mở rộng ngay lập tức cho mọi bộ bốn điểm phân biệt của một tập hợp được trang bị một cấu trúc đường thẳng xạ ảnh (II, p. 138). (a) Bây giờ chứng minh rằng là tập hợp các phần tử liên hợp của một phần tử $\neq 1$ của nhóm nhân $K^*$, và ngược lại rằng, khi a, b, c là các điểm phân biệt của $P(V)$, và $\rho$ là tập hợp các phần tử liên hợp của một phần tử $\neq 1$ của $K^*$, tồn tại một điểm $d \in P(V)$ sao cho Để d là duy nhất, điều kiện cần và đủ là $\rho$ được rút gọn thành một phần tử duy nhất. (b) Bây giờ chứng minh rằng ta có và (trong đó $\rho^{-1}$ (tương ứng $1 - \rho$) chỉ tập hợp các phần tử liên hợp $\lambda \xi^{-1} \lambda^{-1} = (\lambda \xi \lambda^{-1})^{-1}$ (tương ứng $1 - \lambda \xi \lambda^{-1} = \lambda (1 - \xi) \lambda^{-1}$), trong đó $\xi$ là một phần tử của $\rho$).

(c) Cho $(a, b, c, d), (a', b', c', d')$ là hai bộ bốn điểm phân biệt của $\mathbf{P}(V)$. Để tồn tại một ánh xạ nửa tuyến tính song ánh của $V$ lên chính nó sao cho ánh xạ song ánh $f$ của $\mathbf{P}(V)$ lên chính nó, nhận được bằng cách chuyển qua các thương, thỏa mãn các điều kiện $f(a) = a', f(b) = b', f(c) = c', f(d) = d'$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một tự đẳng cấu $\sigma$ của $K$ sao cho

Để tồn tại một biến đổi $f$ của nhóm xạ ảnh $\mathbf{PGL}(V)$ thỏa mãn các điều kiện trước đó, điều kiện cần và đủ là