Exercice 12, § 9

Soit $\mathbf{P}(V)$ un espace projectif (à gauche) de dimension finie $n$ sur un corps $K$. Montrer qu’il existe sur l’ensemble des hyperplans projectifs de $\mathbf{P}(V)$ une structure d’espace projectif (à droite) de dimension $n$ sur $K$, canoniquement isomorphe à celle de $\mathbf{P}(V^*)$ ($V^*$ étant le dual de $V$). Si $M$ est une variété linéaire de dimension $r < n$ dans $\mathbf{P}(V)$, en déduire une structure d’espace projectif de dimension $n - r - 1$ sur l’ensemble des hyperplans projectifs contenant $M$. En particulier, si $M$ est de dimension $n - 2$, on peut définir le birapport $\begin{bmatrix} H_1 & H_2 \\ H_4 & H_3 \end{bmatrix}$ d’un quadruplet $(H_1, H_2, H_3, H_4)$ d’hyperplans distincts contenant $M$. Montrer que si $D \subset \mathbf{P}(V)$ est une droite ne rencontrant pas $M$, et si $a_i$ est l’intersection de $D$ et de $H_i$ $(1 \leq i \leq 4)$, on a