Bài tập 12, § 9

Cho $\mathbf{P}(V)$ là một không gian xạ ảnh (trái) có số chiều hữu hạn $n$ trên một trường $K$. Chứng minh rằng trên tập hợp các siêu phẳng xạ ảnh của $\mathbf{P}(V)$ tồn tại một cấu trúc của không gian xạ ảnh (phải) có chiều $n$ trên $K$, đẳng cấu chính tắc với cấu trúc của $\mathbf{P}(V^*)$ ($V^*$ là đối ngẫu của $V$). Nếu $M$ là một đa tạp tuyến tính có chiều $r < n$ trong $\mathbf{P}(V)$, suy ra một cấu trúc của không gian xạ ảnh có chiều $n - r - 1$ trên tập hợp các siêu phẳng xạ ảnh chứa $M$. Đặc biệt, nếu $M$ có chiều $n - 2$, ta có thể định nghĩa tỉ số kép $\begin{bmatrix} H_1 & H_2 \\ H_4 & H_3 \end{bmatrix}$ của một bộ bốn $(H_1, H_2, H_3, H_4)$ các siêu phẳng phân biệt chứa $M$. Chứng minh rằng nếu $D \subset \mathbf{P}(V)$ là một đường thẳng không gặp $M$, và nếu $a_i$ là giao của $D$ và $H_i$ $(1 \leq i \leq 4)$, thì ta có