Exercice 13, § 9

Dans un plan projectif $\mathbf{P}(V)$ sur un corps $K$ de caractéristique $\neq 2$, soient $a, b, c, d$ quatre points formant un repère projectif (II, p. 202, exerc. 10); désignant par $D_{xy}$ la droite passant par deux points distincts $x, y$ de $\mathbf{P}(V)$, soient $e, f, g$ les points d’intersection des droites $D_{ab}$ et $D_{cd}, D_{ac}$ et $D_{bd}, D_{ad}$ et $D_{bc}$ respectivement; soit $h$ le point d’intersection de $D_{bc}$ et $D_{ef}$; montrer que l’on a $\begin{bmatrix} b & c \\ h & g \end{bmatrix} = \{-1\}$ (« théorème du quadrilatère complet »; se ramener au cas où $D_{ad}$ est la droite à l’infini d’un plan affine). Quel est le résultat correspondant lorsque $K$ est de caractéristique 2?*