Exercice 17, § 9

Soient $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $V$, $K'$ un sous-corps de $K$, $V'$ l’espace vectoriel de dimension $n$ sur $K'$ engendré par les $e_i$. Donner un exemple d’application injective de $V'$ dans $V$, transformant trois points quelconques en ligne droite de l’espace affine $V'$ en trois points en ligne droite de l’espace affine $V$, mais ne transformant pas nécessairement deux droites parallèles en ensembles contenus dans deux droites parallèles. (Plonger $V$ dans l’espace projectif $E$ qui lui est canoniquement associé, et considérer une transformation projective $u$ de $E$ dans lui-même, telle que l’image réciproque par $u$ de l’hyperplan à l’infini soit distincte de cet hyperplan et ne contienne aucun point de $V'$; on pourra par exemple prendre $K$ infini et $K'$ fini).