Exercice 3, § 9

Soient $K$ un corps commutatif de caractéristique $\neq 2$, $E$ un plan affine sur $K$, $a, b, c, d$ quatre points de $E$, dont trois quelconques ne sont pas en ligne droite. On désigne par $D_{xy}$ la droite passant par deux points distincts $x, y$ de $E$. On suppose que les droites $D_{ab}$ et $D_{cd}$ ont un point commun $e$ et que les droites $D_{ad}$ et $D_{bc}$ ont un point commun $f$. Montrer que les milieux des trois couples $(a, c), (b, d), (e, f)$ sont en ligne droite. Que devient cette propriété lorsque $D_{ab}$ et $D_{cd}$ sont parallèles, ou lorsque $D_{ad}$ et $D_{bc}$ sont parallèles? Cas où $K$ est un corps à 3 éléments.*