Exercice 6, § 9

a) Soit $E$ un espace affine de dimension $\geqslant 2$ sur un corps $K$. Pour qu’une application affine $u$ de $E$ dans lui-même transforme toute droite de $E$ en une droite parallèle, il faut et il suffit que l’application linéaire $v$ associée à $u$ soit une homothétie $t \mapsto \gamma t$ de rapport $\gamma \neq 0$ appartenant au centre de $K$. Si $\gamma = 1$, $u$ est une translation; montrer que si $\gamma \neq 1$, il existe un point et un seul $a \in E$ tel que $u(a) = a$. Si on prend $a$ pour origine de $E$, $u$ est alors identifiée à une homothétie centrale pour la structure d’espace vectoriel ainsi déterminée sur $E$; on dit que $u$ est une homothétie centrale de l’espace affine $E$, de centre $a$ et de rapport $\gamma$.

b) Soient $u_1, u_2$ deux applications affines de $E$ dans $E$, dont chacune est, soit une translation, soit une homothétie centrale de $E$. Montrer que $u_1 \circ u_2$ est une translation ou une homothétie centrale de $E$; si $u_1, u_2$ et $u_1 \circ u_2$ sont toutes trois des homothéties centrales, montrer que leurs centres sont en ligne droite. Que peut-on dire lorsque $u_1$ et $u_2$ sont des homothéties centrales et $u_1 \circ u_2$ une translation?

c) Montrer que l’ensemble des translations et des homothéties centrales est un sous-groupe distingué H du groupe affine de E, et que H/T est isomorphe au groupe multiplicatif du centre de K; montrer que H ne peut être commutatif que si H = T, autrement dit si le centre de K n’a que 2 éléments.