Bài tập 6, § 9

(a) Cho E là một không gian afin có chiều $\geqslant 2$ trên một trường K. Để một ánh xạ afin $u$ của E vào chính nó biến mọi đường thẳng của E thành một đường thẳng song song, điều kiện cần và đủ là ánh xạ tuyến tính $v$ liên kết với $u$ là một phép vị tự $t \mapsto \gamma t$ có tỉ số $\gamma \neq 0$ thuộc tâm của K. Nếu $\gamma = 1$ thì $u$ là một phép tịnh tiến; hãy chứng minh rằng nếu $\gamma \neq 1$ thì tồn tại một và chỉ một điểm $a \in E$ sao cho $u(a) = a$. Nếu lấy $a$ làm gốc của E thì khi đó $u$ được đồng nhất với một phép vị tự tâm đối với cấu trúc không gian vectơ do đó được xác định trên E; $u$ được gọi là một phép vị tự tâm của không gian afin E có tâm $a$ và tỉ số $\gamma$.

(b) Cho $u_1, u_2$ là hai ánh xạ afin của E vào E, mỗi ánh xạ hoặc là một phép tịnh tiến hoặc là một phép vị tự tâm. Hãy chứng minh rằng $u_1 \circ u_2$ là một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự tâm của E; nếu $u_1, u_2$ và $u_1 \circ u_2$ cả ba đều là các phép vị tự tâm thì hãy chứng minh rằng các tâm của chúng nằm trên cùng một đường thẳng. Có thể nói gì khi $u_1$ và $u_2$ là các phép vị tự tâm và $u_1 \circ u_2$ là một phép tịnh tiến?

(c) Hãy chứng minh rằng tập hợp các phép tịnh tiến và các phép vị tự tâm là một nhóm con chuẩn tắc H của nhóm afin của E và H/T đẳng cấu với nhóm nhân của tâm của K: hãy chứng minh rằng H chỉ có thể giao hoán nếu H = T, nói cách khác nếu tâm của K chỉ có hai phần tử.