Algèbre, II, p. 201
Soient E un espace affine à gauche sur un corps K, T son espace des translations. a) Pour qu’une application f de E dans un espace vectoriel à gauche L sur K soit affine, il faut et il suffit que l’on ait
f(t+x)−f(x)=f(t+y)−f(y) f(λt+x)−f(x)=λ(f(t+x)−f(x)) quels que soient
λ∈K,t∈T,x,y dans E. Soit
x↦[x] l’injection canonique de E dans l’espace vectoriel
Ks(E) des combinaisons linéaires formelles des éléments de E, et soit N le sous-espace de
Ks(E) engendré par les éléments
[t+x]−[x]−[t+y]+[y] [λt+x]−[x]−λ[t+x]+λ[x] pour
λ∈K,t∈T,x,y dans K; enfin, soit V l’espace quotient de
Ks(E) par N, et
φ l’application de E dans V qui à tout
x∈E associe la classe de
[x] modulo N. Alors
φ est une application affine et pour toute application affine
f de E dans un espace vectoriel à gauche L sur K, il existe une application linéaire
g de V dans L et une seule telle que
f=g∘φ. b) Soit
φ0:T→V l’application linéaire associée à
φ, de sorte que
φ(t+x)−φ(x)=φ0(t). Montrer que
φ (et par suite aussi
φ0) est injective (considérer l’application
x↦x−a de E dans T pour un
a∈E); pour toute famille
(λi)i∈I d’éléments de K à support fini, et toute famille
(xi)i∈I d’éléments de E, on a
i∑λiφ(xi)=φ0(i∑λixi)si i∑λi=0
i∑λiφ(xi)=μφ(i∑μ−1λixi)si i∑λi=μ=0.
En déduire que φ0(T) est un hyperplan passant par 0 dans V, et φ(E) un hyperplan parallèle à φ0(T).