Bài tập 8, § 9

Cho $E$ là một không gian affine trái trên một trường $K$, $T$ là không gian các phép tịnh tiến của nó. a) Để một ánh xạ $f$ của $E$ vào một không gian vectơ trái $L$ trên $K$ là affine, điều kiện cần và đủ là ta có

với mọi $\lambda \in K, t \in T, x, y$ trong $E$. Gọi $x \mapsto [x]$ là đơn ánh chính tắc của $E$ vào không gian vectơ $K_s^{(E)}$ của các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của $E$, và gọi $N$ là không gian con của $K_s^{(E)}$ sinh bởi các phần tử với $\lambda \in K, t \in T, x, y$ trong $K$; cuối cùng, gọi $V$ là không gian thương của $K_s^{(E)}$ bởi $N$, và gọi $\varphi$ là ánh xạ của $E$ vào $V$ liên kết với mỗi $x \in E$ lớp của $[x]$ modulo $N$. Khi đó $\varphi$ là một ánh xạ affine và với mọi ánh xạ affine $f$ của $E$ vào một không gian vectơ trái $L$ trên $K$, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính $g$ của $V$ vào $L$ sao cho $f = g \circ \varphi$. b) Gọi $\varphi_0 : T \to V$ là ánh xạ tuyến tính liên kết với $\varphi$, sao cho $\varphi(t + x) - \varphi(x) = \varphi_0(t)$. Bây giờ chứng minh rằng $\varphi$ (và do đó cả $\varphi_0$) là đơn ánh (xét ánh xạ $x \mapsto x - a$ của $E$ vào $T$ với một $a \in E$); với mọi họ $(\lambda_i)_{i \in I}$ các phần tử của $K$ có giá hữu hạn, và mọi họ $(x_i)_{i \in I}$ các phần tử của $E$, ta có

Suy ra rằng $\varphi_0(T)$ là một siêu phẳng đi qua 0 trong $V$, và $\varphi(E)$ là một siêu phẳng song song với $\varphi_0(T)$.