Bourbaki

Exercice 9, § 9

Algèbre, II

Soient K un corps fini à q éléments, V un espace vectoriel de dimension n sur K. a) Montrer que l’ensemble des suites (x1,x2,…,xm)(x_1, x_2, \ldots, x_m) de m≤nm \leq n vecteurs de V formant un système libre, a un cardinal égal à

(qn−1)(qn−q)⋯(qn−qm−1)(q^n - 1)(q^n - q) \cdots (q^n - q^{m-1})
(raisonner par récurrence sur n). b) Déduire de a) que le cardinal de l’ensemble des variétés linéaires de dimension m dans un espace projectif de dimension n sur K est égal à
(qn+1−1)(qn+1−q)⋯(qn+1−qm)(qm+1−1)(qm+1−q)⋯(qm+1−qm).\frac{(q^{n+1} - 1)(q^{n+1} - q) \cdots (q^{n+1} - q^m)}{(q^{m+1} - 1)(q^{m+1} - q) \cdots (q^{m+1} - q^m)}.

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.