Exercice 11, § 11

Soit $\Phi = 0$ une identité entre mineurs d’une matrice carrée inversible X d’ordre n sur un anneau commutatif A, $\tilde{\Phi} = 0$ l’identité complémentaire (exerc. 10), k un entier > 0. Soit Y une matrice carrée inversible d’ordre $n + k$, et soit $\tilde{Y}_0$ la sous-matrice de la matrice adjointe $\tilde{Y}$, formée en supprimant dans $\tilde{Y}$ les lignes d’indice $\leq k$ et les colonnes d’indice $\leq k$. S’on suppose que $\tilde{Y}_0$ est inversible, et qu’on applique l’identité $\tilde{\Phi} = 0$ aux mineurs de $\tilde{Y}_0$, puis on remplace chaque mineur qui figure dans cette identité (considéré comme mineur de $\tilde{Y}$) par son expression en fonction des mineurs de Y, à l’aide de l’identité (1) de l’exerc. 9 (III, p. 198), on obtient une identité $\Phi_k = 0$ entre mineurs de la matrice Y (valable si Y et $\tilde{Y}_0$ sont inversibles) qui est dite extension d’ordre k de l’identité $\Phi = 0$.

En particulier, soient $A = (\alpha_{ij})$ une matrice carrée inversible d’ordre $n + k$, B la sous-matrice d’ordre k de A obtenue en supprimant dans A les lignes et les colonnes d’indice > k, $\Delta_{ij}$ le déterminant de la matrice d’ordre $k + 1$ obtenue en supprimant dans A les lignes d’indice > k sauf celle d’indice $k + i$ et les colonnes d’indice > k sauf celle d’indice $k + j$; si C désigne la matrice $(\Delta_{ij})$ d’ordre n, démontrer l’identité

valable lorsque A et B sont inversibles (montrer que c’est l’extension d’ordre k du développement total d’un déterminant d’ordre n).

Enoncer les identités obtenues par extension du développement de Laplace (III, p. 98) et de l’identité de l’exerc. 2 de III, p. 190