Bài tập 11, § 11

Cho $\Phi = 0$ là một đẳng thức giữa các định thức con của một ma trận vuông khả nghịch $X$ cấp $n$ trên một vành giao hoán $A$, $\tilde{\Phi} = 0$ là đẳng thức bù tương ứng (Bài tập 10) và $k$ là một số nguyên $> 0$. Cho $Y$ là một ma trận vuông khả nghịch cấp $n + k$ và $\tilde{Y}_0$ là ma trận con của ma trận phụ hợp $\tilde{Y}$ thu được bằng cách bỏ trong $\tilde{Y}$ các hàng có chỉ số $\leq k$ và các cột có chỉ số $\leq k$. Nếu giả sử $\tilde{Y}_0$ khả nghịch và áp dụng đẳng thức $\tilde{\Phi} = 0$ cho các định thức con của $\tilde{Y}_0$, rồi thay mỗi định thức con xuất hiện trong đẳng thức này (xét như một định thức con của $\tilde{Y}$) bằng biểu thức của nó như một hàm của các định thức con của $Y$, dùng đẳng thức (1) của Bài tập 9, thì thu được một đẳng thức $\Phi_k = 0$ giữa các định thức con của ma trận $Y$ (đúng khi $Y$ và $\tilde{Y}_0$ khả nghịch), được gọi là mở rộng cấp $k$ của đẳng thức $\Phi = 0$.

Đặc biệt, cho $A = (\alpha_{ij})$ là một ma trận vuông khả nghịch cấp $n + k$, $B$ là ma trận con của $A$ cấp $k$ thu được bằng cách bỏ trong $A$ các hàng và các cột có chỉ số $> k$, và $\Delta_{ij}$ là định thức của ma trận cấp $k + 1$ thu được bằng cách bỏ trong $A$ các hàng có chỉ số $> k$ trừ hàng có chỉ số $k + i$ và các cột có chỉ số $> k$ trừ cột có chỉ số $k + j$; nếu $C$ ký hiệu ma trận $(\Delta_{ij})$ cấp $n$, hãy chứng minh đẳng thức

đúng khi $A$ và $B$ khả nghịch (hãy chứng minh rằng đó là mở rộng cấp $k$ của khai triển toàn phần của một định thức cấp $n$).

Hãy phát biểu các đẳng thức thu được bằng cách mở rộng khai triển Laplace (§ 8, no. 6) và đẳng thức của Bài tập 2 của § 8.