Exercice 15, § 11

Soit $E$ un $A$-module libre de dimension $n$. Soient $z$ un $p$-vecteur sur $E$, $z^*$ une $(p+q)$-forme sur $E$; $z$ peut être canoniquement identifié (III, p. 190, exerc. 8) à l’antisymétrisé $az_1$ d’un tenseur contravariant $z_1$ d’ordre $p$, et $z^*$ à l’antisymétrisé d’un tenseur covariant d’ordre $p+q$. Si, dans le tenseur mixte $z_1 . z^*$, on contracte le $k$ème indice contravariant et le $(p+k)$ème indice covariant pour $1 \leq k \leq p$, montrer que le tenseur covariant d’ordre $q$ ainsi obtenu est antisymétrisé, et s’identifie canoniquement à la $q$-forme $z^* \wedge z$, au signe près.