Exercice 16, § 11

Soit $E$ un $A$-module libre de dimension $n$. On appelle produit régressif de $x \in \wedge(E)$ et $y \in \wedge(E)$ par rapport à une base $\{e\}$ de $\wedge^n(E)$, et on note $x \vee y$, l’élément $\varphi^{-1}(\varphi(x) \wedge \varphi(y))$, l’isomorphisme $\varphi$ étant relatif à $e$. Ce produit n’est défini qu’à un facteur inversible près, dépendant de la base $\{e\}$ choisie. Montrer que si $x$ est un $p$-vecteur, $y$ un $q$-vecteur, on a $x \vee y = 0$ si $p + q \leq n$, et que si $p + q \geq n$, $x \vee y$ est un $(p+q-n)$-vecteur tel que $y \wedge x = (-1)^{(n-p)(n-q)}x \wedge y$. Le produit régressif est associatif et distributif par rapport à l’addition, et définit sur $\wedge(E)$ une structure d’algèbre unifière isomorphe à la structure de l’algèbre extérieure. Exprimer les composantes de $x \vee y$ en fonction de celles de $x$ et $y$ pour une base donnée de $E$.