Bài tập 16, § 11

Cho E là một A-môđun tự do có chiều $n$. Tích hồi quy của $x \in \bigwedge(E)$ và $y \in \bigwedge(E)$ đối với một cơ sở $\{e\}$ của $\bigwedge^n(E)$, ký hiệu là $x \vee y$, là phần tử $\phi(\phi(x) \wedge \phi(y))$, trong đó đẳng cấu $\phi$ là đẳng cấu ứng với $e$. Tích này chỉ được xác định sai khác bởi một nhân tử khả nghịch, phụ thuộc vào cơ sở $\{e\}$ được chọn. Hãy chứng minh rằng nếu $x$ là một $p$-vectơ và $y$ là một $q$-vectơ thì $x \vee y = 0$ khi $p + q < n$ và rằng, nếu $p + q \geq n$, thì $x \vee y$ là một $(p + q - n)$-vectơ sao cho

Tích hồi quy có tính kết hợp và phân phối đối với phép cộng và xác định trên $\bigwedge(E)$ một cấu trúc đại số có đơn vị đẳng cấu với cấu trúc đại số ngoài. Hãy biểu thị các thành phần của $x \vee y$ như một hàm của các thành phần của $x$ và $y$ đối với một cơ sở đã cho trên E.