Exercice 27, § 11

Soit B une algèbre associative et unifère sur un corps commutatif K, et soit $m : B \otimes_K B \to B$ l’application K-linéaire définissant la multiplication dans B. Le produit tensoriel $B^* \otimes_K B^*$ (où $B^*$ est l’espace vectoriel dual de l’espace vectoriel B) s’identifie canoniquement à un sous-espace vectoriel de $(B \otimes_K B)^*$ (II, p. 110, prop. 16).

a) Montrer que, pour un élément $w \in B^*$, les conditions suivantes sont équivalentes: $1^\circ \ ^t m(w) \in B^* \otimes B^* ; 2^\circ$ l’ensemble des $x \cdot w$, où x parcourt B, est un sous-espace de dimension finie de $B^* ; 3^\circ$ l’ensemble des $w \cdot x$, où x parcourt B, est un sous-espace de dimension finie de $B^* ; 4^\circ$ l’ensemble des $x \cdot w \cdot y$, où x et y parcourent B, est contenu dans un sous-espace de dimension finie de $B^*$.

b) Soit $B' \subset B^*$ l’ensemble des $w \in B^*$ vérifiant les conditions équivalentes de a). Montrer que $^t m(B') \subset B' \otimes_K B'$. (Pour $w \in B'$, écrire $^t m(w) = \sum_i u_i \otimes v_i$, où par exemple les $u_i$ sont linéairement indépendants dans $B^*$; montrer que l’on a alors $v_i \in B'$ pour tout i en utilisant l’associativité de B, et raisonnant par l’absurde.) $B'$ est donc la plus grande cogèbre contenue dans $B^*$, pour laquelle $^t m$ est le coproduit. On dit que $B'$ est la cogèbre duale de l’algèbre B. Lorsque B est de dimension finie, $B' = B^*$.

c) Montrer que si B est un corps commutatif de dimension infinie sur K, on a $B' = \{0\}$. (Noter que l’orthogonal de l’ensemble des $x \cdot w$, pour un $w \in B^*$, x parcourant B, est un idéal de B).

d) Soient $B_1, B_2$ deux K-algèbres, $f : B_1 \to B_2$ un K-homomorphisme d’algèbres. Montrer que l’on a $^t f(B'_2) \subset B'_1$, et que $^t f$, restreint à $B'_2$, est un homomorphisme de cogèbres de $B'_2$ dans $B'_1$.

e) Si C est une cogèbre coassociative et coünifère sur K, l’injection canonique C → C** de l’espace vectoriel C dans son bidual transforme C en un sous-espace de (C*)′, cogèbre duale de l’algèbre C* duale de C, et est un homomorphisme de cogèbres de C dans (C*)′.