Bài tập 27, § 11

Cho B là một đại số kết hợp có đơn vị trên một trường giao hoán K, và cho $m : B \otimes_K B \to B$ là ánh xạ K-tuyến tính xác định phép nhân trong B. Tích tenxơ $B^* \otimes_K B^*$ (trong đó $B^*$ là không gian vectơ đối ngẫu của không gian vectơ B) được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian con vectơ của $(B \otimes_K B)^*$ (II, p. 110, mệnh đề 16).

a) Bây giờ chứng minh rằng, với một phần tử $w \in B^*$, các điều kiện sau là tương đương: $1^\circ \ ^t m(w) \in B^* \otimes B^* ; 2^\circ$ tập hợp các $x \cdot w$, trong đó x chạy qua B, là một không gian con hữu hạn chiều của $B^* ; 3^\circ$ tập hợp các $w \cdot x$, trong đó x chạy qua B, là một không gian con hữu hạn chiều của $B^* ; 4^\circ$ tập hợp các $x \cdot w \cdot y$, trong đó x và y chạy qua B, được chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của $B^*$.

b) Cho $B' \subset B^*$ là tập hợp các $w \in B^*$ thỏa mãn các điều kiện tương đương của a). Bây giờ chứng minh rằng $^t m(B') \subset B' \otimes_K B'$. (Với $w \in B'$, viết $^t m(w) = \sum_i u_i \otimes v_i$, trong đó chẳng hạn các $u_i$ độc lập tuyến tính trong $B^*$; bây giờ chứng minh rằng khi đó ta có $v_i \in B'$ với mọi i bằng cách sử dụng tính kết hợp của B, và lập luận bằng phản chứng.) $B'$ do đó là đối đại số lớn nhất được chứa trong $B^*$, mà đối với nó $^t m$ là đồng tích. Người ta nói rằng $B'$ là đối đại số đối ngẫu của đại số B. Khi B có số chiều hữu hạn, $B' = B^*$.

c) Bây giờ chứng minh rằng nếu B là một trường giao hoán có số chiều vô hạn trên K, thì ta có $B' = \{0\}$. (Chú ý rằng phần tử trực giao của tập hợp các $x \cdot w$, với một $w \in B^*$, x chạy qua B, là một iđêan của B).

d) Cho $B_1, B_2$ là hai K-đại số, $f : B_1 \to B_2$ là một đồng cấu K của các đại số. Bây giờ chứng minh rằng ta có $^t f(B'_2) \subset B'_1$, và rằng $^t f$, hạn chế trên $B'_2$, là một đồng cấu của các đối đại số từ $B'_2$ vào $B'_1$.

e) Nếu C là một đối đại số kết hợp với đối đơn vị trên K, đơn ánh chính tắc C → C** của không gian vectơ C vào đối ngẫu kép của nó biến C thành một không gian con của (C*)′, đối đại số đối ngẫu của đại số đối ngẫu C* của C, và là một đồng cấu của các đối đại số từ C vào (C*)′.