Exercice 8, § 11

Soient E un A-module libre de dimension n. Pour toute application A-linéaire $v$ de $\Lambda(M)$ dans un A-module G, on peut écrire $v = \sum_{p=0}^n v_p$, où $v_p$ est la restriction de $v$ à $\Lambda^p(M)$; on pose alors $\eta v = \sum_{p=0}^n (-1)^p v_p$, de sorte que $\eta^2 v = v$. Soit $u$ un isomorphisme de M sur son dual $M^*$, et soit $\Delta$ le déterminant de la matrice de $u$, par rapport à une base $(e_i)$ de

M et la base duale de M* (déterminant qui ne dépend pas de la base de M choisie). Si φ est l’isomorphisme de $\wedge(M)$ sur $\wedge(M^*)$ défini à partir de $e = e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_n$, démontrer la formule