Bài tập 8, § 11

Cho E là một A-môđun tự do có chiều $n$. Với mọi ánh xạ A-tuyến tính $v$ từ $\Lambda(M)$ vào một A-môđun G, ta có thể viết $v = \sum_{p=0}^n v_p$, trong đó $v_p$ là hạn chế của $v$ trên $\Lambda^p(M)$; khi đó đặt $\eta v = \sum_{p=0}^n (-1)^p v_p$, sao cho $\eta^2 v = v$. Cho $u$ là một đẳng cấu từ M lên đối ngẫu của nó $M^*$ và cho $\Delta$ là định thức của ma trận của $u$ đối với một cơ sở $(e_i)$ của M và cơ sở đối ngẫu của $M^*$ (một định thức không phụ thuộc vào cơ sở đã chọn của M). Nếu $\phi$ là đẳng cấu từ $\Lambda(M)$ lên $\Lambda(M^*)$ được xác định bắt đầu từ $e = e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n$, hãy chứng minh công thức