Exercice 13, § 2

Soient $A$ un anneau commutatif, $E$ un $A$-module. On définit par récurrence un $A$-module $E_n$ en posant

On pose $ME = \bigoplus_{n=1}^\infty E_n$, et on définit sur $ME$ une structure de $A$-algèbre en posant, pour $x_p \in E_p$ et $x_q \in E_q$, $x_p x_q = x_p \otimes x_q \in E_{p+q}$. a) Montrer que pour toute $A$-algèbre $B$ et toute application $A$-linéaire $f : E \to B$, il existe un $A$-homomorphisme d’algèbres $ME \to B$ et un seul qui prolonge $f$. On dit que $ME$ est l’algèbre libre du $A$-module $E$. b) On définit par récurrence sur $n$ un entier $a(n)$ par les formules Montrer que $E_n$ est isomorphe à la somme directe de $a(n)$ modules isomorphes à $E^{\otimes n}$. c) Soit $f(T)$ la série formelle $\sum_{n=1}^\infty a(n)T^n$. Montrer que $f(T) = T + (f(T))^2$. \* En déduire les formules d) Si $I$ est un ensemble quelconque et $E = A^{(I)}$ montrer que $Lib_A(I)$ s’identifie à $ME$. On a des homomorphismes canoniques $M(I) \xrightarrow{\omega} N^{(I)} \xrightarrow{l} N$, dont le composé est la longueur dans $M(I)$; on dit que $\omega(m)$ est le multidegré de $m \in M(I)$; l’application $\omega$ définit sur $Lib_A(I)$ une graduation de type $N^{(I)}$. Montrer que l’ensemble $(Lib_A(I))_\alpha$ des éléments homogènes de multidegré $\alpha \in N^{(I)}$ pour cette graduation est un $A$-module libre de rang égal à où $\alpha! = \prod_{i \in I} (\alpha(i))!$ et $n = \sum_{i \in I} \alpha(i) = l(\alpha)$ est la longueur de $\alpha$.