Exercice 15, § 2

Soit $A$ un anneau commutatif, $n$ un entier $\geq 2$ tel que pour tout $a \in A$, l’équation $nx = a$ ait une solution $x \in A$. Soit $m$ un entier $\geq 1$, et soit $u$ un polynôme de $A[X]$ de la forme $X^{mn} + f(X)$, où $f$ est de degré $\leq mn - 1$; montrer qu’il existe un polynôme $v \in A[X]$ de la forme $X^m + w$ où $w$ est de degré $\leq m - 1$, tel que $u - v^n$ soit nul ou de degré $< m(n - 1)$.