Exercice 17, § 2

Soit $A$ un anneau commutatif. Montrer que, dans l’algèbre $A[X]$ des polynômes à une indéterminée sur $A$, l’application $(u, v) \mapsto u(v)$ est une loi de composition associative et distributive à gauche par rapport à l’addition et à la multiplication dans $A[X]$. Si $A$ est un anneau intègre, montrer que la relation $u(v) = 0$ entraîne que $u = 0$ ou que $v$ est constant, et que si $u \neq 0$ et que le degré de $v$ est $> 0$, le degré de $u(v)$ est égal au produit des degrés de $u$ et de $v$.