Exercice 4, § 5

Soit $M$ un A-module projectif de type fini; pour toute application bilinéaire $u$ de $M \times M$ dans $M$, on note $\tilde{u}$ le tenseur $\theta_M^{-1}(u)$ dans $T_{\{1,2\}}^{\{3\}}(M)$. Montrer que pour que la structure d’algèbre sur $M$ définie par $u$ soit associative, il faut et il suffit que les tenseurs $c_4^3(\tilde{u} \otimes \tilde{u})$ et $c_2^6(\tilde{u} \otimes \tilde{u})$ se correspondent par l’isomorphisme canonique d’associativité de $T_{\{1,2,3\}}^{\{4\}}(M)$ sur $T_{\{1,3,4\}}^{\{2\}}(M)$.