Exercice 4, § 6

Soient $A$ un anneau commutatif, $a$ un idéal de $A$. On appelle algèbre de Rees de l’idéal $a$ la sous-$A$-algèbre $R(a)$ de l’algèbre de polynômes $A[T]$ à une indéterminée, formée des polynômes $c_0 + c_1 T + \cdots + c_n T^n$, où $c_0 \in A$ et $c_k \in a^k$ pour tout entier $k \geq 1$. a) Montrer qu’il existe un homomorphisme surjectif de $A$-algèbres et un seul $r : S(a) \to R(a)$ tel que la restriction de $r$ à $a$ soit l’application $A$-linéaire $x \mapsto xT$. b) Supposons l’anneau $A$ intègre. Soient $a_1, \ldots, a_n$ des éléments de $A$, avec $a_n \neq 0$; on considère l’homomorphisme $u : A[X_1, \ldots, X_n] \to A[T]$ de $A$-algèbres tel que $u(X_i) = a_i T$. Le noyau $r = \mathrm{Ker}(u)$ est un idéal gradué, dont la composante homogène $r_m$ de degré $m$ est formée des polynômes homogènes $f$ de degré $m$ tels que $f(a_1, \ldots, a_n) = 0$. Si $r' \subset r$ est l’idéal de $A[X_1, \ldots, X_n]$ engendré par la composante homogène $r_1$ de $r$, montrer que le $A$-module $r/r'$ est un $A$-module de torsion. (Pour voir que, pour tout $f \in r_m$, il existe $c \neq 0$ dans $A$ tel que $cf \in r'$, raisonner par récurrence sur $m$, en posant

où les $f_j$ sont homogènes de degré $m-1$; considérer le polynôme observer que $g \in r_1 \subset r'$ et former $a_n^{m-1} f - X_n^{m-1} g.$) c) Déduire de b) que lorsque $A$ est un anneau intègre, le noyau de l’homomorphisme $r$ de $a$ est le module de torsion de $S(a)$. En déduire que, pour que $S(a)$ soit intègre, il faut et il suffit que $S(a)$ soit un $A$-module sans torsion. En particulier, si l’idéal $a$ est un $A$-module projectif, $S(a)$ est intègre et isomorphe à $R(a)$.