Bài tập 4, § 6

Cho $A$ là một vành giao hoán và $a$ là một iđêan của $A$. Đại số Rees của iđêan $a$ là đại số con $R(a)$ của đại số đa thức $A[T]$ theo một ẩn, gồm các đa thức $c_0 + c_1 T + \cdots + c_n T^n$, trong đó $c_0 \in A$ và $c_k \in a^k$ với mọi số nguyên $k \geq 1$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số $A$ toàn ánh $r : S(a) \to R(a)$ sao cho hạn chế của $r$ trên $a$ là ánh xạ $A$-tuyến tính $x \mapsto xT$.

(b) Giả sử rằng vành $A$ là một miền nguyên. Cho $a_1, \ldots, a_n$ là các phần tử của $A$ với $a_n \neq 0$; xét đồng cấu đại số $A$

sao cho $u(X_i) = a_i T$. Hạt nhân $r = \mathrm{Ker}(u)$ là một iđêan phân bậc mà thành phần thuần nhất $r_m$ bậc $m$ của nó gồm các đa thức thuần nhất $f$ bậc $m$ sao cho $f(a_1, \ldots, a_n) = 0$. Nếu $r' \subset r$ là iđêan của $A[X_1, \ldots, X_n]$ sinh bởi thành phần thuần nhất $r_1$ của $r$, hãy chứng minh rằng $A$-môđun $r/r'$ là một $A$-môđun xoắn. (Để kiểm tra điều đó, với mọi $f \in r_m$, tồn tại $c \neq 0$ trong $A$ sao cho $cf \in r'$, hãy lập luận bằng quy nạp theo $m$, bằng cách viết

trong đó các $f_j$ là thuần nhất bậc $m - 1$; xét đa thức nhận thấy rằng $g \in r_1 \subset r'$ và lập $a_n^{m-1} f - X_n^{m-1} g.$)

(c) Suy ra từ (b) rằng khi $A$ là một miền nguyên, hạt nhân của đồng cấu $r$ ở (a) là môđun xoắn của $S(a)$. Suy ra rằng để $S(a)$ là một miền nguyên, điều kiện cần và đủ là $S(a)$ là một $A$-môđun không xoắn. Đặc biệt, nếu iđêan $a$ là một $A$-môđun xạ ảnh, thì $S(a)$ là một miền nguyên và đẳng cấu với $R(a)$.