Exercice 1, § 7

Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions.

a) Montrer que la puissance extérieure $\wedge^2 K$ du $A$-module $K$ est réduite à 0.

b) Pour tout $A$-module $E \subset K$, montrer que toute puissance extérieure $\wedge^p E$ est un $A$-module de torsion pour $p \geq 2$.

c) Si $E$ est le $A$-module défini dans II, p. 197, exerc. 31, montrer que $\wedge^2 E$ n’est pas réduit à 0. Donner un exemple d’un anneau intègre $A$ et d’un $A$-module $E$ contenu dans le corps des fractions $K$ de $A$, tel qu’aucune puissance extérieure $\wedge^p E$ ne soit réduite à 0.