Exercice 10, § 7

Soit E un A-module ayant un système générateur de $n$ éléments. Montrer que toute application $n$-linéaire alternée de $E^n$ dans un A-module F est l’antisymétrisée d’une application $n$-linéaire de $E^n$ dans F. (Soient $a_j$ ($1 \leq j \leq n$) les générateurs de E, $\varphi : A^n \to E$ l’homomorphisme tel que $\varphi(e_j) = a_j$ pour tout $j$, où $(e_j)$ est la base canonique de $A^n$. Si $f : E^n \to F$ est une application $n$-linéaire alternée, il en est de même de $f_0 : (x_1, \ldots, x_n) \mapsto f(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n))$; montrer que si $g_0$ est une application $n$-linéaire de $(A^n)^n$ dans F telle que $f_0 = ag_0$, $g_0$ s’écrit aussi $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto g(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n))$, où g est une application $n$-linéaire de $E^n$ dans F.)