Bài tập 10, § 7

Cho E là một A-môđun có một hệ sinh gồm n phần tử. Hãy chỉ ra rằng mọi ánh xạ n-tuyến tính phản xứng của $E^n$ vào một A-môđun F đều là sự phản xứng hóa của một ánh xạ n-tuyến tính của $E^n$ vào F. (Cho $a_j$ ($1 \leq j \leq n$) là các phần tử sinh của E và $\phi : A^n \to E$ là đồng cấu sao cho $\phi(e_j) = a_j$ với mọi j, trong đó $(e_j)$ là cơ sở chính tắc của $A^n$. Nếu $f : E^n \to F$ là một ánh xạ n-tuyến tính phản xứng, thì $f_0 : (x_1, \ldots, x_n) \mapsto f(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))$ cũng vậy; hãy chỉ ra rằng nếu $g_0$ là một ánh xạ n-tuyến tính từ $(A^n)^n$ vào F sao cho $f_0 = ag_0$, thì $g_0$ cũng có thể được viết dưới dạng $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto g(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))$, trong đó g là một ánh xạ n-tuyến tính của $E^n$ vào F.)