Exercice 11, § 7

Soient K un corps commutatif dans lequel $2 = 0$, A l’anneau de polynômes $K[X, Y, Z]$, E le A-module $A^3/M$, où M est le sous-module de $A^3$ engendré par l’élément $(X, Y, Z)$ de $A^3$; enfin, soit F le A-module quotient de A par l’idéal $AX^2 + AY^2 + AZ^2$. Montrer qu’il existe une application bilinéaire alternée de $E^2$ dans F qui n’est antisymétrisée d’aucune application bilinéaire de $E^2$ dans F, mais que dans $T^2(E)$, le module $\mathfrak{J}_2''$ est égal au noyau de l’endomorphisme $z \mapsto az$ (considérer $T^2(E)$ comme un module quotient de $T^2(A^3)$ et montrer que le noyau de $z \mapsto az$ est l’image canonique du module des tenseurs symétriques $S_2'(A^3)$).