Bài tập 11, § 7

Cho K là một trường giao hoán trong đó $2 = 0$, A là vành đa thức $K[X, Y, Z]$ và E là A-môđun $A^3/M$, trong đó M là môđun con của $A^3$ sinh bởi phần tử $(X, Y, Z)$ của $A^3$; cuối cùng, gọi F là A-môđun thương của A theo iđêan $AX^2 + AY^2 + AZ^2$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một ánh xạ song tuyến tính phản xứng từ $E^2$ vào F, không phải là phản đối xứng hóa của bất kỳ ánh xạ song tuyến tính nào từ $E^2$ vào F, nhưng trong $T^2(E)$ thì môđun $\mathfrak{g}_2''$ bằng hạt nhân của tự đồng cấu $z \mapsto az$ (hãy xét $T^2(E)$ như một môđun thương của $T^2(A^3)$ và chỉ ra rằng hạt nhân của $z \mapsto az$ là ảnh chính tắc của môđun các tensor đối xứng $S'_2(A^3)$).