Exercice 6, § 7

Soient $K$ un corps commutatif, $E$ un espace vectoriel sur $K$.

a) Pour qu’un élément $z = \sum_{p=0}^{\infty} z_p$ (avec $z_p \in \wedge^p E$) de l’algèbre extérieure $\wedge E$ de $E$ soit inversible, il faut et il suffit que $z_0 \neq 0$ (le démontrer d’abord lorsque $E$ est de dimension finie, puis passer au cas général en remarquant que pour tout $z \in \wedge E$, il existe un sous-espace $F$ de $E$, de dimension finie, tel que $z \in \wedge F$).

b) On suppose $K$ tel que $2 \neq 0$ dans $K$. Montrer que si $E$ est de dimension infinie, ou de dimension finie et paire, le centre de l’algèbre $\wedge E$ est formé des éléments tels que $z_p = 0$ pour tous les indices $p$ impairs. Si $E$ est de dimension impaire $n$, le centre de $\wedge E$ est somme du sous-espace précédent et de $\wedge^n E$. Dans tous les cas, le centre de $\wedge E$ est identique à l’ensemble des éléments de $\wedge E$ permutables avec tous les éléments inversibles de $\wedge E$.