Bài tập 6, § 7

Cho K là một trường giao hoán và E là một không gian vectơ trên K.

(a) Để một phần tử $z = \sum_{p=0}^\infty z_p$ (với $z_p \in \bigwedge^p E$) của đại số ngoài $\bigwedge E$ của E là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là $z_0 \neq 0$ (trước hết hãy chứng minh điều đó khi E hữu hạn chiều rồi chuyển sang trường hợp tổng quát, bằng cách nhận thấy rằng với mọi $z \in \bigwedge E$ đều tồn tại một không gian con hữu hạn chiều F của E sao cho $z \in \bigwedge F$).

(b) Giả sử rằng K sao cho $2 \neq 0$ trong K. Hãy chỉ ra rằng, nếu E vô hạn chiều hoặc có số chiều hữu hạn chẵn, thì tâm của đại số $\bigwedge E$ gồm các phần tử sao cho $z_p = 0$ với mọi chỉ số lẻ $p$. Nếu E có số chiều lẻ $n$, thì tâm của $\bigwedge E$ là tổng của không gian con trên và $\bigwedge^n E$. Trong mọi trường hợp, tâm của $\wedge E$ đồng nhất với tập hợp các phần tử của $\wedge E$ hoán vị được với mọi phần tử khả nghịch của $\wedge E$.