Exercice 12, § 8

Une matrice $(\alpha_{ij})$ d’ordre $n$ est dite centrosymétrique (resp. centrosymétrique gauche) si on a $\alpha_{n-i+1, n-j+1} = \alpha_{ij}$ (resp. $\alpha_{n-i+1, n-j+1} = -\alpha_{ij}$) pour $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$. a) Montrer qu’on peut mettre le déterminant d’une matrice centrosymétrique d’ordre pair $2p$ sous forme du produit de deux déterminants d’ordre $p$, et le déterminant d’une matrice centrosymétrique d’ordre impair $2p + 1$ sous forme du produit d’un déterminant d’ordre $p$ et d’un déterminant d’ordre $p + 1$. b) Montrer qu’on peut mettre le déterminant d’une matrice centrosymétrique gauche d’ordre pair $2p$ sous forme du produit de deux déterminants d’ordre $p$. Le déterminant d’une matrice centrosymétrique gauche d’ordre impair $2p + 1$ est nul si, dans $A$, la relation $2\xi = 0$ entraîne $\xi = 0$; dans le cas contraire, il peut se mettre sous la forme du produit de $\alpha_{p+1, p+1}$ par deux déterminants d’ordre $p$.