Bài tập 12, § 8

Một ma trận $(\alpha_{ij})$ cấp $n$ được gọi là đối xứng tâm (ứng với phản đối xứng tâm) nếu $\alpha_{n-i+1, n-j+1} = \alpha_{ij}$ (ứng với $\alpha_{n-i+1, n-j+1} = -\alpha_{ij}$) với $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$.

(a) Chứng minh rằng định thức của một ma trận đối xứng tâm cấp chẵn $2p$ có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai định thức cấp $p$, và định thức của một ma trận đối xứng tâm cấp $2p + 1$ dưới dạng tích của một định thức cấp $p$ và một định thức cấp $p + 1$.

(b) Chứng minh rằng định thức của một ma trận phản đối xứng tâm cấp chẵn $2p$ có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai định thức cấp $p$. Định thức của một ma trận phản đối xứng tâm cấp lẻ $2p + 1$ bằng không nếu trong $A$ quan hệ $2\xi = 0$ kéo theo $\xi = 0$; nếu không, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tích của $\alpha_{p+1, p+1}$ với hai định thức cấp $p$.