Exercice 13, § 8

Soient $\Delta = \det(\alpha_{ij})$ le déterminant d’une matrice d’ordre $n$, $\Delta_{ij}$ le mineur d’ordre $n-1$, complémentaire de $\alpha_{ij}$. Montrer qu’on a

Si $\Delta = 0$, et si les $\alpha_{ij}$ appartiennent à un corps, montrer que le déterminant précédent est le produit d’une forme linéaire en $x_1, x_2, \ldots, x_n$ et d’une forme linéaire en $y_1, y_2, \ldots, y_n$ (utiliser l’exerc. 5 de III, p. 189, et l’exerc. 8 de II, p. 206). Donner un exemple où ce résultat est en défaut lorsque l’anneau des scalaires $A$ n’est pas un corps (prendre pour $A$ l’anneau $\mathbf{Z}/(6)$, et $n = 2$).