Bài tập 13, § 8

Đại số, III

Cho $\Delta = \det(\alpha_{ij})$ là một định thức cấp $n$ và $\Delta_{ij}$ là phần phụ đại số cấp $n-1$ , phần bù của $\alpha_{ij}$ . Hãy chứng minh rằng

\begin{vmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} & x_1 \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} & x_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \cdots & \alpha_{nn} & x_n \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n & z \end{vmatrix} = \Delta z - \sum_{i,j} (-1)^{i+j} \Delta_{ij} x_i y_j.

Nếu $\Delta = 0$ và các $\alpha_{ij}$ thuộc một trường, hãy chứng minh rằng định thức trên là tích của một dạng tuyến tính theo $x_1, x_2, \ldots, x_n$ và một dạng tuyến tính theo $y_1, y_2, \ldots, y_n$ (dùng Bài tập 5 của § 5 và Bài tập 8 của II, § 6).

Hãy cho một ví dụ trong đó kết quả này không còn đúng khi vành các vô hướng $A$ không phải là một trường (lấy $A$ là vành $\mathbf{Z}/(6)$ và $n = 2$ ).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.