Exercice 22, § 8

Soit F une application de $\mathbf{M}_n(K)$ dans un ensemble E, K étant un corps commutatif, telle que, pour tout triplet de matrices $X, Y, Z$ dans $\mathbf{M}_n(K)$, on ait $F(XYZ) = F(XZY)$. On excepte le cas de $\mathbf{M}_2(\mathbf{F}_2)$; montrer alors qu’il existe une application $\Phi$ de K dans E telle que $F(X) = \Phi(\det(X))$. (Utilisant III, p. 104, corollaire, montrer d’abord que pour $U \in \mathbf{SL}_n(K)$, on a $F(X) = F(XU)$; en déduire que dans $\mathbf{GL}_n(K)$, $F(X)$ ne dépend que de $\det(X)$. D’autre part, si, pour $r \leq n - 1$, on pose

montrer qu’il existe une matrice $Y$ de rang $r$ telle que $X_{r-1} = YX_r$ et $Y = X_rY$, et en déduire que $F(X)$ a la même valeur pour toutes les matrices de rang $< n$.)